相控阵天线的工作原理基于电磁波的干涉和叠加原理，通过控制阵列中辐射单元的馈电相位，改变天线方向图形状，实现波束扫描和指向控制，其数学分析主要涉及方向图函数、相位分布计算、波束形成算法等，以下为具体分析：
原理概述
相控阵天线通过控制阵列中辐射单元的馈电相位来改变方向图形状。控制相位可以改变天线方向图最大值的指向，以达到波束扫描的目的。在特殊情况下，也可以控制副瓣电平、最小值位置和整个方向图的形状，例如获得余割平方形方向图和对方向图进行自适应控制等。与机械扫描天线相比，相控阵天线克服了惯性大、速度慢的缺点，波束扫描速度高，其馈电相位一般用电子计算机控制，相位变化速度快（毫秒量级），即天线方向图最大值指向或其他参数的变化迅速。
数学分析
方向图函数：
- 以均匀线阵为例，假设方向上的远场信号源信号入射到由N个天线阵元组成的均匀线阵上，再通过N个阵元通道进入到接收通道。假设每个阵元都是理想全向点源，第一个阵元位于坐标原点，可以推导出方向图函数的具体表达式。这个表达式描述了天线在不同方向上的辐射特性。
相位分布计算：
- 为了实现波束的定向控制，需要精确计算每个天线单元所需的相位值。这通常基于阵列天线的几何布局、信号波长以及期望的波束指向角度等因素。通过调整相位差，可以改变不同天线单元发出的信号在空间中的干涉情况，从而形成所需的波束形状和方向。
波束形成算法：
- 波束形成是相控阵天线的核心技术之一，它涉及对多个天线单元接收或发射的信号进行加权处理，以实现波束的定向和扫描。在数学上，这可以通过复数加权、数字波束合成（DBF）等算法来实现。这些算法能够根据控制信息计算出各个移相器的相移量，并通过天线控制器来控制馈电网络完成移相过程。
